σπίτι / επιστήμη / μαθηματικά / Πώς να λύσει διαφορικών εξισώσεων

Πώς να λύσουμε διαφορικών εξισώσεων

/
73 Προβολές

Πώς να λύσουμε διαφορικών εξισώσεων</a>

Η διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση και των παραγώγων του περιλαμβάνουν γραμμικά, δηλαδή το πρώτο πτυχίο, που ονομάζεται μια γραμμική διαφορική εξίσωση της πρώτης τάξης.

εντολή

    1

Μια γενική όψη μιας πρώτης τάξης γραμμική διαφορική εξίσωση είναι:

y; + P (x) * y = f (x),

όπου y - άγνωστης λειτουργίας, και ρ (χ) και f (x) -ορισμένες ειδικές λειτουργίες. Θεωρούνται να είναι συνεχής στην περιοχή στην οποία θέλετε να ενσωματώσετε την εξίσωση. Ειδικότερα, μπορεί να είναι σταθερές.

    2

Αν f (x); 0, τότε η εξίσωση καλείται odnorodnym- αν όχι - τότε, αντίστοιχα, ανομοιογενές.

    3

Το γραμμικό ομογενές εξίσωση μπορεί να επιλυθεί με διαχωρισμό των μεταβλητών. γενική μορφή του: y; + P (x) * y = 0, επομένως:

dy / dx = -P (x) * y, πράγμα που σημαίνει ότι dy / y = -P (x) dx.

    4

Ενσωμάτωση και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει, έχουμε:

; (Dy / y) = -; P (x) dx, δηλαδή, ln (y) = -; P (x) dx + ln (C) ή y = C * e ^ (-; P (x) dx) ).

    5

Λύση του ανομοιογενούς γραμμική εξίσωση μπορεί να είναιαποσυρθεί από τις λύσεις του αντίστοιχου ομογενούς, δηλαδή, την ίδια εξίσωση με τη δεξιά πλευρά του έπεσε f (x). Για να γίνει αυτό, να αντικαταστήσει τη σταθερά C στο διάλυμα του ομοιογενούς εξίσωσης άγνωστης λειτουργίας; (Χ). Στη συνέχεια, το διάλυμα της ανομοιογενούς εξίσωση θα παρουσιαστούν με τη μορφή:

? Υ = (x) * e ^ (-; P (x) dx)).

    6

Διαφοροποίηση αυτή την έκφραση, βλέπουμε ότι το παράγωγο του y είναι:

y; = ?? (x) * e ^ (-; P (x) dx) -; (Χ) * p (x) * e ^ (-; P (x) dx).

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για το y και y; στην αρχική εξίσωση και απλούστευση λαμβάνεται εύκολα να έρθουν στο αποτέλεσμα:

d; / dx = f (x) * e ^ (; p (x) dx).

    7

Μετά την ενσωμάτωση και τις δύο πλευρές του παίρνει το είδος:

; (Χ) =; (F (x) * e ^ (; P (x) dx)) dx + Γ1.

Έτσι, η άγνωστη συνάρτηση y εκφράζεται ως:

y = e ^ (-; p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

    8

Αν εξισώνουν την σταθερά C στο μηδέν, τότε η έκφραση για το y μπορεί να ληφθεί ένα συγκεκριμένο διάλυμα της δοθείσας εξίσωσης:

y1 = (e ^ (-; p (x) dx)) * (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

Στη συνέχεια, μια ολοκληρωμένη λύση μπορεί να εκφραστεί ως:

y = y1 + C * e ^ (-; p (x) dx)).

    9

Με άλλα λόγια, μια ολοκληρωμένη λύση του γραμμικούανομοιογενές διαφορική εξίσωση της πρώτης τάξης είναι ίση με το άθροισμα συγκεκριμένων διαλύματος της και τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς γραμμική εξίσωση της πρώτης τάξης.

Πώς να λύσουμε διαφορικών εξισώσεων Είναι αυτή τροποποιήθηκε τελευταία φορά: 21 Ιουν 2017 με vashuorm
Είναι κύριο εσωτερικό δοχείο κείμενο υποσέλιδου